Soal Fungsi Eksponen dan Logaritma

Soal dan Pembahasan Fungsi Eksponen dan Logaritma

1. (UAN 2005/2006)
   Nilai x yang memenuhi persamaan 2log 2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah …
   A. 2log 3
   B. 3log 2
   C. log 2/3
   D. -1 atau 3
   E. 3 atau 1/2

   Pembahasan :
   Ingat kembali sifat logaritma :

   alog b = alog c —> maka b = c

   2log 2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x
   2log 2log (2x+1 + 3) = 2log2 + 2log x
   2log 2log (2x+1 + 3) = 2log 2x
   2log (2x+1 + 3) = 2x
   2log (2x+1 + 3) = 2log 22x
   2x+1 + 3 = 22x
   2x+1 + 3 – 22x = 0
   2x.21 + 3 – 22x = 0 —> ubah menjadi persamaan kuadrat
   (2x)2 – 2(2x) – 3 = 0

   misal 2x = a, maka persamaan menjadi :
   a2 – 2a – 3 = 0
   (a + 1)(a – 3) = 0
   a = -1 atau a = 3

   Selanjutnya,
   untuk a = -1 —> 2x = -1 —> tidak ada nilai x yang memenuhi
   untuk a = 3 —> 2x = 3 —> x = 2log 3 (opsi A)
2. (UAN 2005/2006)
   Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah …
   A. x > 6
   B. x > 8
   C. 4 < x < 6
   D. -8 < x < 6
   E. 6 < x < 8

   Pembahasan :
   Ingat kembali sifat logaritma :

   alog b + alog c = alog bc

   alog b – alog c = alog b/c

   log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16)

   log (x – 4)(x + 8) < log (2x + 16)
   log (x – 4)(x + 8) – log (2x + 16) < 0
   log {(x – 4)(x + 8)} / (2x + 16) < 0
   log {(x – 4)(x + 8)} / 2(x + 8) < 0
   log (x – 4) / 2 < 0

   Syarat :
   agar log (x – 4) / 2 < 0 maka x > 4

   log (x – 4) / 2 < 0
   log (x – 4) / 2 < log 1
   (x – 4) / 2 < 1
   x – 4 < 2
   x < 6

   Jadi penyelesaiannya adalah 4 < x < 6 (opsi C)
3. (UAN 2006/2007)
   Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = …
   A. 2/a
   B. (2 + ab)/ a(1 + b)
   C. a/2
   D. (b + 1)/ (2ab + 1)
   E. (a + b)/ (2 + ab)

   Pembahasan :
   Ingat kembali sifat logaritma :

   alog b = xlog b / xlog a  ; dengan x> 0 dan x ≠ 1

   alog bx = x alog b

   Karena yang diketahui adalah nilai 2log 3 dan 3log 5 maka ubahlah15log20 ke dalam bentuk logaritma yang mengandung kedua logaritma tersebut.

   15log 20 = 3log 20 / 3log 15
   15log 20 = 3log (4.5) / 3log (3.5)
   15log 20 = 3log (22.5) / 3log (3.5)
   15log 20 = (3log 22 + 3log 5) / (3log 3 + 3log 5)
   15log 20 = (2 3log 2 + 3log 5) / (3log 3 + 3log 5)
   Ingat kembali sifat logaritma :

   alog b = 1/ (blog a)

   Karena 3log 2 = 1/ (2log 3) = 1/a, maka :
   15log 20 = {2.(1/a) + b}/ (1 + b)
   15log 20 = {(2 + ab)/ a}/ (1 + b)
   15log 20 = (2 + ab)/ a(1 + b) —> opsi B
4. (UAN 2007/2008)
   Dikatahui 2log 7 = a dan 2log 3 = b, maka nilai dari 6log 14 adalah …
   A. a/ (a + b)
   B. (1 + a)/ (1 + b)
   C. (a + 1)/ (a + b)
   D. a/ a(a + b)
   E. (a + 1)/ a(a + b)

   Pembahasan :
   6log 14 = (2log 14)/ (2log 6)
   6log 14 = (2log 7.2)/ (2log 3.2)
   6log 14 = (2log 7 + 2log 2)/ (2log 3 + 2log 2)
   6log 14 = (2log 7 + 1)/ (2log 3 + 1)
   6log 14 = (a + 1)/ (b + 1)
   6log 14 = (1 + a)/ (1 + b) —> opsi C
5. (UAN 2008/2009)
   Diketahui 2log √(12x + 4) = 3. Nilai 3x adalah …
   A. 15
   B. 5
   C. 5/3
   D. 3/5
   E. 1/5

   Pembahasan :
   2log √(12x + 4) = 3
   2log √(12x + 4) = 2log 23
   √(12x + 4) = 23
   {√(12x + 4)}2 = (23)2
   12x + 4 = 26
   12x + 4 = 64
   12x = 60
   x = 5

   Jadi nilai 3x = 3.5 = 15 (opsi A)

6. (UAN 2009/2010)

Nilai dari (3log √6) / {(3log 18) – (3log 2)} adalah …
A. 1/8
B. 1/2
C. 1
D. 2
E. 8

Pembahasan :
(3log √6) / {(3log 18)2 – (3log 2)2} = (3log 6 ½) / {(3log 9.2)2 – (3log 2)2}
= (½ 3log 6) / {(3log 9 + 3log 2)2 – (3log 2)2}
= (½ 3log 3.2) / {(3log 32 + 3log 2)2 – (3log 2)2}
= {½ (3log 3 + 3log 2)} / {(2 3log 3 + 3log 2)2 – (3log 2)2}
= {½ (1 + 3log 2)} / {(2 + 3log 2)2 – (3log 2)2}
= {½ (1 + 3log 2)} / {(4 + 4 3log 2 + 3log 22 ) – (3log 2)2}
= {½ (1 + 3log 2)} / {(4 + 4 3log 2 + 3log 22 – 3log 22}
= {½ (1 + 3log 2)} / (4 + 4 3log 2)
= {½ (1 + 3log 2)} / {4 (1 +  3log 2)}
=  ½ / 4
= 1/8 —> opsi A.

7.(UAN 2010/2011)

Nilai x yang memenuhi persamaan ½log (x2 – 3) – ½log x = -1 adalah …
A. x = -1 atau x = 3
B. x = 1 atau x = -3
C. x = 1 atau x = 3
D. x = 1
E. x = 3

Pembahasan :
½log (x2 – 3) – ½log x = -1

½log {(x2 – 3)/ x} = ½log (½)-1
(x2 – 3)/ x = (½)-1
(x2 – 3)/ x = 2
x2 – 3 = 2x
x2 – 3 – 2x = 0
x2 – 2x – 3 = 0
(x + 1)(x – 3) = 0
x = -1 atau x = 3

Sekarang ingat kembali prinsip logaritma :

an = b ⇔ n = alog b  ; b > 0

Karena b harus lebih besar dari nol, maka x = -1 tidak berlaku karena akan menyebabkan b bernilai negatif. Jadi nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah 3 —> opsi E.

8. (UAN 2011/2012)

Diketahui 5log 3 = a dan 3log 4 = b. Nilai 4log 15 adalah …
A. (1 + a)/ ab
B. (1 + a)/ (1 + b)
C. (1 + b)/ (1 – a)
D. ab/ (1 – a)
E. ab/ (1 – b)

Pembahasan :
4log 15 = (3log 15)/ 3log 4
4log 15 = (3log 3.5)/ 3log 4
4log 15 = (3log 3 + 3log 5)/ 3log 4

Sekarang ingat kembali prinsip logaritma :

 alog b  = 1/ blog a

Karena 3log 5 = 1/ 5log 3 = 1/a, maka diperoleh :
4log 15 = (3log 3 + 3log 5)/ 3log 4
4log 15 = (1 + 1/a)/ b
4log 15 = {(a + 1)/ a}/ b
4log 15 = (a + 1)/ ab
4log 15 = (1 + a)/ ab —> opsi A.

9. (UAN 2012/2013)

Diketahui 2log 5 = p dan 5log 3 = b. Nilai 3log 10 dinyatakan dalam p dan q adalah …
A. (p + 1)/ q
B. (p + 1)/ pq
C. (q + 1)/ p
D. (q + 1)/ pq
E. (pq + 1)/ q

Pembahasan :
3log 10 = (5log 10)/ 5log 3
3log 10 = (5log 2.5)/ 5log 3
3log 10 = (5log 2 + 5log 5)/ 5log 3

Karena  5log 2 = 1/ 2log 5 = 1/p, maka diperoleh :
3log 10 = (5log 2 + 5log 5)/ 5log 3
3log 10 = (1/p + 1)/ q
3log 10 = {(1 + p)/ p}/ q
3log 10 = (1 + p)/ pq
3log 10 = (p + 1)/ pq —>  opsi B.